Notas históricas sobre ângulos

O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates e talvez Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Erastóstenes de Cirene (276 a.C. – 194 A.C) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas.

Desde os tempos mais antigos, os povos vêm olhando para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida tanto na Terra assim como entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática. Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Frequentemente, o Sol servia como referência e a determinação da hora dependia da inclinação do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (Relógio de Sol).

Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distância que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver este problema, esticava-se o braço e se calculava quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e se media à distância. Os braços deveriam permanecer bem esticados para que a resposta fosse a mais fiel possível. A medida era diferente de uma medida comum e este modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantíssimo no contexto científico.

Na verdade, não se sabe quando o homem começou a medir ângulos, mas se sabe que estes eram medidos na Mesopotâmia e eram muito bem conhecidos quando Stonehenge foi construída, 2000 a.C.

Quanto ao conceito de ângulo, temos algumas definições:

Grécia Antiga: "Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma linha reta".

Euclides: "Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento".

Em 1893, H. Schotten resumiu as definições de Ângulo em três tipos:

·         01: A diferença de direção entre duas retas;

·         02: A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entrementes no outro lado do ângulo;

·         03: A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo.

Em 1634, P. Henrigone definiu ângulo como “um conjunto de pontos”, definição esta que tem sido usada com mais frequência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o símbolo “^” para representar ângulo.

FONTE: The Convolution Box: Geometria: Ângulos – in: http://quantumfactor.blogspot.com

O Papiro de Ahmes

A história dos problemas "Papiro de Rhind"

O papiro de Rhind está escrito em hierático, da direita para a esquerda, tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento. É datado de cerca de 1650 a.C., embora no texto seja referido que foi copiado de um manuscrito, de cerca de, 200 anos antes.

O papiro tem o nome do escocês Alexander Henry Rhind que o comprou, por volta de 1850, em Luxor, no Egipto. 

É também designado por papiro de Ahmes, o escriba egípcio que o copiou. Encontra-se atualmente no Museu Britânico.

O papiro contém uma série de tabelas e 84 problemas e as suas soluções. Eis uma listagem das suas tabelas e problemas:

Cálculos que mostram 2 dividido por cada um dos números ímpares de 3 a 101.
Uma tabela contendo os resultados da divisão de cada número de 1 a 9 por 10.
1 a 6		Divisão de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães por 10 homens.
7 a 20		Multiplicação de diferentes frações por 1 + 1/2 + 1/4 ou 1 + 2/3 + 1 /3 21-23: Subtrações: 1 - (2/3 + 1/15), 1 - (2/3 + 1/30) e 2/3 - (1/4 + 1/8 + 1/10 + 1/30 + 1/45).
24 a 29		Problemas de quantidades, envolvendo equações do 1.º grau com uma incógnita, resolvidas pelo método da falsa posição.
30 a 34		Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais complicados (envolvendo frações) e resolvidos pelo método da divisão.
35 a 38		Problemas de hekat (medida de capacidade), envolvendo equações do 1.º grau com uma incógnita mas ainda mais complexas que as anteriores, resolvidos pelo método da falsa posição.
39		Divisão de pães.
40		Divisão de pães envolvendo progressões aritméticas.
41 a 43		Volumes de contentores cilíndricos de cereais.
44 a 46		Volumes de contentores paralelepipédicos de cereais.
47		Tabela das frações de 1 hekat, como frações do olho de Horus.
48 a 53		Áreas de triângulos, rectângulos, trapézios e círculos.
54 e 55		Divisão relacionada com área.
56 a 60		Problemas relacionados com pirâmides (sekeds, alturas e bases)
61 e 61B		Tabela de uma regra para encontrar 2/3 de números ímpares e fracções unitárias.
62		Problema de proporções, sobre metais preciosos e os seu peso.
63 e 65		Divisão proporcional de pães por um número de homens.
64		Problema envolvendo uma progressão aritmética.
66		Divisão de gordura.
67		Proporção de gado devido a imposto.
68		Divisão proporcional de cereais entre grupos de homens.
69 a 78		Problemas de pesus de pão e cerveja. Proporção inversa.
79		Progressão geométrica de razão 7.
80 e 81		Tabelas das fracções do olho de Horus.
82 a 84		Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de vários animais domésticos, como gansos e outras aves

A trigonometria

A geometria e a trigonometria são ciências afins que tratam de dimensões, ângulos, formas, áreas e volumes. Enquanto a Geometria é o estudo matemático do espaço, usando figuras planas (bidimensionais) e sólidas (tridimensionais), a Trigonometria trata das propriedades dos triângulos e é usada em levantamentos topográficos, navegação e física para calcular a altura e a distância de pontos inacessíveis. Como a Trigonometria estabelece relações entre medidas de ângulos e de segmentos, foi também considerada originalmente uma extensão da Geometria.

A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo. Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri = três; gonos = ângulos; métron = medir.

A necessidade de calcular grandes distâncias, sem instrumentos adequados, era um grande problema para os estudos de Astronomia, para a navegação e para outros campos do conhecimento. Estes fatores foram impulsionadores do desenvolvimento da Trigonometria, principalmente entre gregos e egípcios.

Até hoje os conceitos trigonométricos são muito utilizados, em especial por astrônomos e agrimensores, para medir distâncias muito grandes ou nas situações em que há dificuldade de fazer medições, como, por exemplo, medir a largura de um rio, a altura de uma montanha, etc. A Trigonometria é um instrumento indispensável às ciências físicas, à tecnologia e a outros campos do conhecimento científico.

Sabe-se que foi o eminente astrônomo grego Hiparco, quem empregou, pela primeira vez, relações entre lados e ângulos de um triângulo retângulo, por volta de 140 a.C. Daí ser considerado o Pai da Trigonometria.

Do mundo grego, a Trigonometria passou para a Índia onde era usada, a partir do século V, nos cálculos astrológicos. No ano 800, aproximadamente, ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Alcança, com os livros de Ptolemaios, a Europa Cristã em torno do ano 1100. Com os portugueses encontra uma aplicação de enorme valor econômico na Navegação Oceânica.