TERNAS PITAGÓRICAS

As Ternas Pitagóricas

Por volta de 1700 a.C. foram encontradas, na Babilônia, tabelas contendo listas de ternas de números inteiros com a propriedade de que um dos números quando elevado ao quadrado era igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como tais listas eram extensas, acredita-se que os Babilônios já possuíam um método sistemático de gerar tais ternas.

Talvez a mais notável das tábuas babilônias já analisadas seja aquela conhecida como Plimpton 322. O nome faz referência a G. A. Plimton da Universidade de Columbia, catalogada pelo número de 322.

Esta tábua foi escrita no período babilônio antigo, aproximadamente entre 1900a 1600 a.C.. Contém 3 colunas praticamente completas de caracteres, sendo os valores dos catetos e hipotenusa de triângulos retângulos inteiros.

As principais ternas quando z = y + 1 são: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61². Ainda existem outras ternas quando z = y + 2, ou seja, 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101².

O Método Pitagórico

Os Pitagóricos foram, por volta de 600 a.C., os primeiros a dar um método de determinação de infinitas ternas desse tipo, hoje denominadas de ternas Pitagóricas.

Utilizando uma notação atual descrevemos o método da seguinte maneira:

x = 2n, 

y = (n²– 1),

z = (n² + 1)

Onde n é um inteiro ímpar maior que 1.

Observe alguns exemplos:

1º) p/ n = 3:      

x = 6; y = 8 e z =10

2º) p/ n = 5:      

x = 10; y = 24 e z =26

O Método Platônico

O filósofo Platão (430 – 349 a.C.) encontrou outro método para determinar todas essas ternas, que em notação moderna são as fórmulas:

x = 4n,

y = 4n² – 1 e

z = 4n² +1.

Onde n é um inteiro.

Observe alguns exemplos:

1º) p/ n = 1:      

x = 4, y = 3 e y = 5

2º) p/ n = 2:      

x = 8, y = 15 e y = 17

O Método Euclidiano

Por volta de 300 a.C., quando Euclides publicou a coleção de 13 livros denominada “Os Elementos”, todos os fatos matemáticos apresentados foram demonstrados formalmente. No décimo livro, Euclides deu um método de obtenção de todas as ternas Pitagóricas.

O método consiste nas seguintes fórmulas:

x = t(a²-b²),

y = 2tab,

z = t(a²+b²)

Onde t, a, e b, são inteiros positivos arbitrários tais que a>b, a e b não possuem fatores em comum, e se a é ímpar então b é par e vice-versa.

Observe alguns exemplos:

1º) p/ t = 1, a = 2 e b = 1:             

x = 3, y = 4 e z = 5

2º) p/ t = 1, a = 3 e b = 2:             

x = 5, y = 12 e z = 13

Observe que a forma mais fácil de obter ternas com esse método é utilizando t = 1.

Depois, utilizamos um valor de t diferente de 1, pois t é um fator multiplicador. No 1º exemplo, ao utilizar t = 2 obtemos x = 6, y = 8 e z = 10.

O Método Euclidiano resolve completamente o problema natural de se saber quais são todas as ternas Pitagóricas.

Fonte principal: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/ternos-pitagricos_16.html

O Teorema de Tales

A relação de Tales recebe esse nome em homenagem ao matemático grego Tales, que a desenvolveu.

Podemos enunciar o teorema da seguinte forma:

“Um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais”.

     

Pelo teorema de Tales, temos:

Exemplo: Vamos determinar o valor de x, em cm, na figura abaixo.

x = 12 cm

Série Grandes Matemáticos - Tales de Mileto

Quem foi Tales?

Tales de Mileto é descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista da visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida. As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias, mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.

Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C., conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apóiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.

Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático'' verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales".

A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um circulo é bissectado por um diâmetro'', "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes".

Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola Jánia'' e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descobertas matemáticas específicas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos''.

Conta-se que Tales, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado a medir a altura da grande pirâmide de Quéops. Com apenas um bastão e seus conhecimentos sobre segmentos proporcionais, Tales venceu o desafio.
Ele sabia que a razão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra projetada pela pirâmide (aumentado pela metade do comprimento da aresta da base) é igual à razão entre a altura do bastão e o comprimento da sombra projetada por esse bastão. Depois, foi só fazer os cálculos.

Instrumentos de medição de ângulos e giros

Do astrolábio ao transferidor

Para medir um ângulo, utilizamos vários instrumentos de medida. Vejamos os principais:

ASTROLÁBIO. O Astrolábio é um instrumento simples para determinar a altura de um objeto astronômico em graus. Para funcionar ele utiliza: a luz dos objetos e a gravidade.

TEODOLITO. O Teodolito é um instrumento óptico que serve para medir posições relativas. É posto numa base tripé e arranjado de maneira a medir um comprimento e um ângulo, assim calcula-se as distâncias relativas.

 

 SEXTANTE. O Sextante é um instrumento destinado a medir ângulos geográficos ou astronômicos.

  

MEDIDOR DE ÂNGULO DIGITAL. O Medidor de ângulo digital é um instrumento novo que pode medir ângulos a partir da abertura de suas réguas.

TRANSFERIDOR. Transferidor é um material muito usado para medida e marcação de ângulos. É composto basicamente por uma escala circular, ou de seções de círculo, dividida e marcada em ângulos espaçados regularmente, tal qual numa régua. Seu uso é diversificado tendo emprego em educação, matemática, engenharia, topografia, construção e diversas outras atividades que requeiram o uso e a medição de ângulos com precisão. Encontramos geralmente em um dos dois tipos abaixo:

Transferidor de meia volta:                                                       

           Transferidor de uma volta: