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TERNAS PITAGÓRICAS

As Ternas Pitagóricas

Por volta de 1700 a.C. foram encontradas, na Babilônia, tabelas contendo listas de ternas de números inteiros com a propriedade de que um dos números quando elevado ao quadrado era igual à soma dos quadrados dos outros dois. Como tais listas eram extensas, acredita-se que os Babilônios já possuíam um método sistemático de gerar tais ternas.

Talvez a mais notável das tábuas babilônias já analisadas seja aquela conhecida como Plimpton 322. O nome faz referência a G. A. Plimton da Universidade de Columbia, catalogada pelo número de 322.

Esta tábua foi escrita no período babilônio antigo, aproximadamente entre 1900a 1600 a.C.. Contém 3 colunas praticamente completas de caracteres, sendo os valores dos catetos e hipotenusa de triângulos retângulos inteiros.

As principais ternas quando z = y + 1 são: 3² + 4² = 5², 5² + 12² = 13², 7² + 24² = 25², 9² + 40² = 41², 11² + 60² = 61². Ainda existem outras ternas quando z = y + 2, ou seja, 8² + 15² = 17², 12² + 35² = 37², 16² + 63² = 99², 20² + 65² = 101².

O Método Pitagórico

Os Pitagóricos foram, por volta de 600 a.C., os primeiros a dar um método de determinação de infinitas ternas desse tipo, hoje denominadas de ternas Pitagóricas.

Utilizando uma notação atual descrevemos o método da seguinte maneira:

x = 2n, 

y = (n²– 1),

z = (n² + 1)

Onde n é um inteiro ímpar maior que 1.

Observe alguns exemplos:

1º) p/ n = 3:      

x = 6; y = 8 e z =10

2º) p/ n = 5:      

x = 10; y = 24 e z =26

O Método Platônico

O filósofo Platão (430 – 349 a.C.) encontrou outro método para determinar todas essas ternas, que em notação moderna são as fórmulas:

x = 4n,

y = 4n² – 1 e

z = 4n² +1.

Onde n é um inteiro.

Observe alguns exemplos:

1º) p/ n = 1:      

x = 4, y = 3 e y = 5

2º) p/ n = 2:      

x = 8, y = 15 e y = 17

O Método Euclidiano

Por volta de 300 a.C., quando Euclides publicou a coleção de 13 livros denominada “Os Elementos”, todos os fatos matemáticos apresentados foram demonstrados formalmente. No décimo livro, Euclides deu um método de obtenção de todas as ternas Pitagóricas.

O método consiste nas seguintes fórmulas:

x = t(a²-b²),

y = 2tab,

z = t(a²+b²)

Onde t, a, e b, são inteiros positivos arbitrários tais que a>b, a e b não possuem fatores em comum, e se a é ímpar então b é par e vice-versa.

Observe alguns exemplos:

1º) p/ t = 1, a = 2 e b = 1:             

x = 3, y = 4 e z = 5

2º) p/ t = 1, a = 3 e b = 2:             

x = 5, y = 12 e z = 13

Observe que a forma mais fácil de obter ternas com esse método é utilizando t = 1.

Depois, utilizamos um valor de t diferente de 1, pois t é um fator multiplicador. No 1º exemplo, ao utilizar t = 2 obtemos x = 6, y = 8 e z = 10.

O Método Euclidiano resolve completamente o problema natural de se saber quais são todas as ternas Pitagóricas.

Fonte principal: http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2008/11/ternos-pitagricos_16.html

Série Grandes Matemáticos - Pitágoras

Quem foi Pitágoras?

Seria impossível resumir a vida e as ideias de Pitágoras apenas em alguns parágrafos, tal é a multiplicidade de aspectos que apresenta. Sem falar no mistério que envolve sua figura.

Acredita-se que tenha nascido em Samos (Grécia antiga) por volta de 558 a.C., e tenha vivido até os 99 anos, embora esses dados não sejam exatos. Desse véu de mistério o que emerge é o Pitágoras filósofo, matemático e músico.

Buscou sabedoria em toda parte, até mesmo quando esteve preso na Babilônia. Um de seus mestres foi Tales de Mileto, que o teria aconselhado a visitar o Egito, onde não só estudou geometria, como seu mestre, mas também aprendeu a ler hieróglifos (a escrita egípcia) com os próprios sacerdotes egípcios.

Outros aspectos interessantes da vida de Pitágoras dizem respeito a algumas idéias bastante avançadas para sua época. Por exemplo: dizem que era vegetariano e um forte defensor da vida em geral, tendo-se declarado contrário ao sacrifício de animais, muito comum em sua época.

E mais ainda: parece ter sido iniciado nos mistérios da religião egípcia. Como seu contemporâneo distante Buda, acreditava que todos os seres humanos eram iguais e mereciam a liberdade; seria este o motivo pelo qual teria libertado seu escravo Zalmoxis.

Pitágoras fundou uma escola mística secreta chamada Escola Pitagórica. Nela, a ciência era considerada um bem comum e todos pesquisavam e discutiam coletivamente. Por isso, as contribuições científicas conquistadas não possuíam autoria individual. Pitágoras e os pitagóricos (seus discípulos) eram conhecidos amantes da liberdade.

Uma coisa nos intriga: “Por que chamamos Teorema de Pitágoras, se os chineses já conheciam o teorema muito antes dele?”.

Na verdade é muito comum que um teorema receba o nome de alguém que não tenha sido o primeiro a demonstrá-lo. Mas o mérito de Pitágoras não é que ele foi o responsável por ter aprendido a pensar a geometria de maneira abstrata, e não em relação a objetos concretos, como se fazia até então.

Espírito científico, Pitágoras afirmava: “A fórmula da hipotenusa em relação aos catetos é verdadeira não apenas em triângulos retângulos de lajotas ou aqueles desenhados na lousa, mas também para todos os triângulos retângulos que ainda não vimos, e mais ainda, para qualquer triângulo retângulo que pensemos”.

O fato é: muito utilizada, essa relação métrica entre as medidas dos lados de um triângulo retângulo é um dos mais importantes teoremas da Matemática.

O Teorema de Tales

A relação de Tales recebe esse nome em homenagem ao matemático grego Tales, que a desenvolveu.

Podemos enunciar o teorema da seguinte forma:

“Um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais”.

     

Pelo teorema de Tales, temos:

Exemplo: Vamos determinar o valor de x, em cm, na figura abaixo.

x = 12 cm

Série Grandes Matemáticos - Tales de Mileto

Quem foi Tales?

Tales de Mileto é descrito em algumas lendas como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista da visão, mas a verdade é que pouco se sabe sobre sua vida. As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias, mas com base em tradições pode-se reconstruir algumas idéias.

Viajando muito pelos centros antigos de conhecimento deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática aprendendo Geometria no Egito Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos e diz-se que em 585 A.C., conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria neste ano, assombrando seus contemporâneos e é nesta data que se apóiam para indicar aproximadamente o ano em que nasceu, pois na época deveria contar com quarenta anos, mais ou menos. Calcula-se que tenha morrido com 78 anos de idade.

Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios, discípulo dos egípcios e caldeus, e recebe o título comumente de "primeiro matemático'' verdadeiro, tentando organizar a Geometria de forma dedutiva. Acredita-se que durante sua viagem à Babilônia estudou o resultado que chega até nós como "Teorema de Tales".

A ele também se devem outros quatro teoremas fundamentais: "um circulo é bissectado por um diâmetro'', "os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais", "os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais", e "se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado do outro, então, eles são congruentes".

Tales foi mestre de um grupo de seguidores de suas idéias, chamado "Escola Jánia'' e foi o primeiro homem da História a quem se atribuem descobertas matemáticas específicas e, como disse Aristóteles, "para Tales a questão primordial não era o que sabemos, mas como sabemos''.

Conta-se que Tales, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado a medir a altura da grande pirâmide de Quéops. Com apenas um bastão e seus conhecimentos sobre segmentos proporcionais, Tales venceu o desafio.
Ele sabia que a razão entre a altura da pirâmide e o comprimento da sombra projetada pela pirâmide (aumentado pela metade do comprimento da aresta da base) é igual à razão entre a altura do bastão e o comprimento da sombra projetada por esse bastão. Depois, foi só fazer os cálculos.