sexta-feira, 22 de abril de 2011

Geometria e Concursos

Olá Galerinha! Estou começando a postar algumas questões para exercitarmos para o ENEM. Espero estar contribuindo para o crescimento de todos. Começarei com questões retiradas dos Concursos que participei ultimamente.

Geometria e Concursos (Aula do SFP: 26/03/2011)

1. (Boqueirão-2011) Na figura, o retângulo ABCD esta inscrito na semicircunferência de centro na origem O. Sabendo-se que as coordenadas do ponto A, são (- 4, 3) e que p = 3,14, a área hachurada e igual a:
a) 12,75
b) 15,25
c) 18,50
d) 20,25
e) 32,14

Solução:
Vamos considerar que a figura é formada por um semicírculo vazado por um retângulo. O problema é resolvido calculando-se: a área do semicírculo; a área do retângulo; e subtraindo a 1ª da 2ª. Vejamos:
r²=3²+4²=9+16=25
r=Ö25 = 5 u

Asem=p.r²/2
Asem=3,14.5²/2=39,25u²
Aret=3.8=24u².
Afigura=Asem – Aret
Afigura=39,25-24=15,25u²


ALTERNATIVA B

2. (Barra de São Miguel-2011) Qual o valor de x na figura a seguir?
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°

Solução:
Considerando B como centro da circunferência 1 e C como centro da circunferência 2, temos:
α=80°/2
α=40°
Como x=α/2, temos
x=40°/2
x=20°


ALTERNATIVA B

3. (Barra de São Miguel-2011) A área da região hachurada a seguir vale:
a) 12π – 2
b) 16 – 2 π
c) 9 – π
d) 8 – 2 π
e) 4 – π

Solução:
Vamos considerar que a figura é formada por um retângulo, com largura 2u e altura 4u, vazado por um semicírculo, com r=2u. O problema é resolvido calculando-se: a área do retângulo; a área do semicírculo; e subtraindo a 1ª da 2ª. Vejamos:
Aret=2.4=8u².
Asem=π.r²/2
Asem=π.2²/2=2π
Afig=Aret – Asem
Afig=8 – 2π

ALTERNATIVA D

4. (Queimadas-2011) Queremos revestir uma parede, conforme a figura, usando azulejo de 20 cm x 20 cm. Já dispondo de 342 peças desse azulejo, qual a quantidade de peças a serem compradas?
a) 33 peças.
b) 73 peças.
c) 83 peças.
d) 43 peças.
e) 53 peças.

Solução:
Para facilitar os cálculos, transformamos todas as medidas em cm.
Vamos calcular a área líquida da figura. Assim:
Afrente=700.280=196000cm²
Aporta=210.80=16800cm²
Ajanela=110.120=13200cm²
Afigura=Afrente – Aporta – Ajanela
Afigura=196000 – 16800 – 13200 = 166000cm²
Cada azulejo tem a seguinte medida:
Aazulejo=20.20=400cm²
Como temos 342 peças, área já coberta por azulejo será:
Acoberta=342.400=136800cm²
A área a ser coberta será então de:
Arestante=Afigura – Acoberta
Arestante=166000 – 136800 = 29200cm²
O número de peças para cobrir a área restante será de:
1peça = 400cm²
Xpeças = 29200cm²
Xpeças = 29200/400 = 73


ALTERNATIVA B

5. (Queimadas-2011) O quadrado ABCD da figura a seguir tem lado igual a 6 cm. Os círculos com centros em A, B, C e D, respectivamente, tem raios iguais a 1/3 do lado do quadrado. Pode-se então afirmar que a área hachurada da figura e, em cm2, igual a:
a) 8 (2π + 1).
b) 4 (3π + 2).
c) 8 (2π – 1).
d) 6 (2π + 1).
e) 16π.

Solução:
Para facilitar os cálculos, vamos calcular a área A e em seguida multiplicaremos por 4 para obter a área hachurada (marcada).
Vejamos a área da figura A:


O raio é 1/3 do lado, assim:
R=6.1/3=2cm
A área de ¾ do círculo é calculada da seguinte forma:
Acírculo=3/4.p.2² = 3pcm²
A área do triângulo retângulo de catetos 2cm é assim calculada:
Atriângulo=2.2/2=2cm²
A área da figura A é:
AfiguraA=Acírculo + Atriângulo = (3p + 2)cm²
A área hachurada então será:
Ahachurada = 4.AfiguraA = 4.(3p + 2) cm²


ALTERNATIVA B

6. (Boqueirão-2011) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é:
a) 70°
b) 90°
c) 110°
d) 130°
e) 140°

Solução:
O ângulo central, que determina a medida do ângulo do arco AB tem ângulo com medida 2.65°=130° (ângulo central = 2.ângulo inscrito).
De maneira análoga, a medida do ângulo do arco BC é 2.45°=90°.
A soma dos ângulos dos arcos de uma circunferência é igual a 360°, assim:
Arco AD + Arco CD + Arco BC + Arco AB = 360°
Arco AD + Arco CD = 360° – 220° = 140°
Note que:
Arco AD = 2.m e Arco CD = 2.n
Assim:
2.m + 2.n = 140°
2.(m+n) = 140°
m+n=140/2=70°


ALTERNATIVA A

7. (Barra de São Miguel-2011) Dadas as seguintes afirmações:
I. Em um quadrado de perímetro igual a 30 cm, sua área e de 56,25 cm2.
II. A área de um circulo cujos 2/5 do raio medem 14m é 3846 m2 (π = 3,14).
III. No losango, cujas diagonais somadas medem 175 dm, sua área será 3675 dm² se uma das diagonais for 2/3 da outra.
Assinale:
a) se apenas I e verdadeira.
b) se apenas III e verdadeira.
c) se apenas I e III são verdadeiras.
d) se todas as afirmações são falsas.
e) se todas as afirmativas são verdadeiras.

Solução:
Afirmação I.
Se o quadrado tem perímetro igual a 30 cm, então cada lado terá medida 7,5cm, pois:
lado=Perímetro/4=30/4=7,5
Aquadrado=7,5²=56,25cm²
VERDADEIRA.


Afirmação II.
raio=x
raio.2/5=14m
x=14.5/2=35m
Acírculo=π.r²=3,14.35²=3846,5m²
FALSA.

Afirmação III.
D+d=175
d=D.2/3
D+2D/3=175
5D=525
D=525/5=105dm
d=175-105=70dm
A=D.d/2=105.70=3675dm²
VERDADEIRA.


ALTERNATIVA C

8. (Queimadas-2011) Um colégio deseja construir uma pista de atletismo com a forma da figura a seguir, sendo AB e CD semicircunferências. Considere π=3,14.
Pode-se afirmar que:
I) o contorno externo da pista mede 388,4 m.
II) o contorno interno da pista mede 325,6 m.
III) a área total da pista mede 3.570 m².
Analise as proposições acima e assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmações I e II estão corretas.
b) Somente as afirmações I e III estão corretas.
c) Somente as afirmações II e III estão corretas.
d) As afirmações I, II e III estão corretas.
e) As afirmações I, II e III estão incorretas.

Solução:
Afirmação I.
O contorno externo é calculado da seguinte forma:
Ccircunferência=π.D=3,14.60=188,4m
Cexterno = 188,4 + 200 = 388,4m
VERDADEIRA.

Afirmação II.
O contorno interno é calculado da seguinte forma:
Ccircunferência=π.D=3,14.40=125,6m
Cexterno = 125,6 + 200 = 325,6m
VERDADEIRA.

Afirmação III.
A área da pista é calculada assim:
Acoroacircular=π.(R²-r²)=3,14.(30²-20²)=3,14.500=1570m²
Areta=10.100=1000m²
Apista=Acoroa+2.Areta
Apista=1570+2000=3570m²
VERDADEIRA.

ALTERNATIVA D

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