A poesia que nos leva à matemática...

Poesia Matemática

Millôr Fernandes

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

Texto extraído do livro "Tempo e Contratempo", Edições O Cruzeiro - Rio de Janeiro, 1954, publicado com o pseudônimo de Vão Gogo.

Geometria e Concursos

Olá Galerinha! Estou começando a postar algumas questões para exercitarmos para o ENEM. Espero estar contribuindo para o crescimento de todos. Começarei com questões retiradas dos Concursos que participei ultimamente.

Geometria e Concursos (Aula do SFP: 26/03/2011)

1. (Boqueirão-2011) Na figura, o retângulo ABCD esta inscrito na semicircunferência de centro na origem O. Sabendo-se que as coordenadas do ponto A, são (- 4, 3) e que p = 3,14, a área hachurada e igual a:

a) 12,75

b) 15,25

c) 18,50

d) 20,25

e) 32,14

Solução:
Vamos considerar que a figura é formada por um semicírculo vazado por um retângulo. O problema é resolvido calculando-se: a área do semicírculo; a área do retângulo; e subtraindo a 1ª da 2ª. Vejamos:
r²=3²+4²=9+16=25
r=Ö25 = 5 u

Asem=p.r²/2
Asem=3,14.5²/2=39,25u²
Aret=3.8=24u².
Afigura=Asem – Aret
Afigura=39,25-24=15,25u²


ALTERNATIVA B

2. (Barra de São Miguel-2011) Qual o valor de x na figura a seguir?

a) 10°

b) 20°

c) 30°

d) 40°

e) 50°

Solução:
Considerando B como centro da circunferência 1 e C como centro da circunferência 2, temos:
α=80°/2
α=40°
Como x=α/2, temos
x=40°/2
x=20°


ALTERNATIVA B

3. (Barra de São Miguel-2011) A área da região hachurada a seguir vale:

a) 12π – 2

b) 16 – 2 π

c) 9 – π

d) 8 – 2 π

e) 4 – π

Solução:
Vamos considerar que a figura é formada por um retângulo, com largura 2u e altura 4u, vazado por um semicírculo, com r=2u. O problema é resolvido calculando-se: a área do retângulo; a área do semicírculo; e subtraindo a 1ª da 2ª. Vejamos:
Aret=2.4=8u².
Asem=π.r²/2
Asem=π.2²/2=2π
Afig=Aret – Asem
Afig=8 – 2π

ALTERNATIVA D

4. (Queimadas-2011) Queremos revestir uma parede, conforme a figura, usando azulejo de 20 cm x 20 cm. Já dispondo de 342 peças desse azulejo, qual a quantidade de peças a serem compradas?

a) 33 peças.

b) 73 peças.

c) 83 peças.

d) 43 peças.

e) 53 peças.

Solução:
Para facilitar os cálculos, transformamos todas as medidas em cm.
Vamos calcular a área líquida da figura. Assim:
Afrente=700.280=196000cm²
Aporta=210.80=16800cm²
Ajanela=110.120=13200cm²
Afigura=Afrente – Aporta – Ajanela
Afigura=196000 – 16800 – 13200 = 166000cm²
Cada azulejo tem a seguinte medida:
Aazulejo=20.20=400cm²
Como temos 342 peças, área já coberta por azulejo será:
Acoberta=342.400=136800cm²
A área a ser coberta será então de:
Arestante=Afigura – Acoberta
Arestante=166000 – 136800 = 29200cm²
O número de peças para cobrir a área restante será de:
1peça = 400cm²
Xpeças = 29200cm²
Xpeças = 29200/400 = 73


ALTERNATIVA B

5. (Queimadas-2011) O quadrado ABCD da figura a seguir tem lado igual a 6 cm. Os círculos com centros em A, B, C e D, respectivamente, tem raios iguais a 1/3 do lado do quadrado. Pode-se então afirmar que a área hachurada da figura e, em cm2, igual a:

a) 8 (2π + 1).

b) 4 (3π + 2).

c) 8 (2π – 1).

d) 6 (2π + 1).

e) 16π.

Solução:
Para facilitar os cálculos, vamos calcular a área A e em seguida multiplicaremos por 4 para obter a área hachurada (marcada).
Vejamos a área da figura A:
O raio é 1/3 do lado, assim:
R=6.1/3=2cm
A área de ¾ do círculo é calculada da seguinte forma:
Acírculo=3/4.p.2² = 3pcm²
A área do triângulo retângulo de catetos 2cm é assim calculada:
Atriângulo=2.2/2=2cm²
A área da figura A é:
AfiguraA=Acírculo + Atriângulo = (3p + 2)cm²
A área hachurada então será:
Ahachurada = 4.AfiguraA = 4.(3p + 2) cm²


ALTERNATIVA B

6. (Boqueirão-2011) Na figura, os triângulos ABC e BCD estão inscritos na circunferência. A soma das medidas m + n, em graus, é:

a) 70°

b) 90°

c) 110°

d) 130°

e) 140°

Solução:
O ângulo central, que determina a medida do ângulo do arco AB tem ângulo com medida 2.65°=130° (ângulo central = 2.ângulo inscrito).
De maneira análoga, a medida do ângulo do arco BC é 2.45°=90°.
A soma dos ângulos dos arcos de uma circunferência é igual a 360°, assim:
Arco AD + Arco CD + Arco BC + Arco AB = 360°
Arco AD + Arco CD = 360° – 220° = 140°
Note que:
Arco AD = 2.m e Arco CD = 2.n
Assim:
2.m + 2.n = 140°
2.(m+n) = 140°
m+n=140/2=70°


ALTERNATIVA A

7. (Barra de São Miguel-2011) Dadas as seguintes afirmações:

I. Em um quadrado de perímetro igual a 30 cm, sua área e de 56,25 cm2.

II. A área de um circulo cujos 2/5 do raio medem 14m é 3846 m2 (π = 3,14).

III. No losango, cujas diagonais somadas medem 175 dm, sua área será 3675 dm² se uma das diagonais for 2/3 da outra.

Assinale:

a) se apenas I e verdadeira.

b) se apenas III e verdadeira.

c) se apenas I e III são verdadeiras.

d) se todas as afirmações são falsas.

e) se todas as afirmativas são verdadeiras.

Solução:
Afirmação I.
Se o quadrado tem perímetro igual a 30 cm, então cada lado terá medida 7,5cm, pois:
lado=Perímetro/4=30/4=7,5
Aquadrado=7,5²=56,25cm²
VERDADEIRA.


Afirmação II.
raio=x
raio.2/5=14m
x=14.5/2=35m
Acírculo=π.r²=3,14.35²=3846,5m²
FALSA.

Afirmação III.
D+d=175
d=D.2/3
D+2D/3=175
5D=525
D=525/5=105dm
d=175-105=70dm
A=D.d/2=105.70=3675dm²
VERDADEIRA.


ALTERNATIVA C

8. (Queimadas-2011) Um colégio deseja construir uma pista de atletismo com a forma da figura a seguir, sendo AB e CD semicircunferências. Considere π=3,14.

Pode-se afirmar que:

I) o contorno externo da pista mede 388,4 m.

II) o contorno interno da pista mede 325,6 m.

III) a área total da pista mede 3.570 m².

Analise as proposições acima e assinale a alternativa correta:

a) Somente as afirmações I e II estão corretas.

b) Somente as afirmações I e III estão corretas.

c) Somente as afirmações II e III estão corretas.

d) As afirmações I, II e III estão corretas.

e) As afirmações I, II e III estão incorretas.

Solução:
Afirmação I.
O contorno externo é calculado da seguinte forma:
Ccircunferência=π.D=3,14.60=188,4m
Cexterno = 188,4 + 200 = 388,4m
VERDADEIRA.

Afirmação II.
O contorno interno é calculado da seguinte forma:
Ccircunferência=π.D=3,14.40=125,6m
Cexterno = 125,6 + 200 = 325,6m
VERDADEIRA.

Afirmação III.
A área da pista é calculada assim:
Acoroacircular=π.(R²-r²)=3,14.(30²-20²)=3,14.500=1570m²
Areta=10.100=1000m²
Apista=Acoroa+2.Areta
Apista=1570+2000=3570m²
VERDADEIRA.

ALTERNATIVA D

Seja Bem Vindo! Sou Estirador de Corda

Olá!

Que bom que estamos inaugurando mais um blog sobre a matemática. Neste blog pretendo escrever sobre a matemática e suas histórias; curiosidades e informações sobre matemáticos famosos que fizeram com que a matemática fosse um dos pilares de nossa sociedade.

Antes que você pense que sou doido ou coisa assim, já ouviu falar do “estiradores de corda” do antigo Egito?

No antigo Egito, por volta do ano 1000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.
A construção de pirâmides de base quadrada é uma das muitas aplicações do conhecimento geométrico dos antigos egípcios através do método conhecimento como “cantos retos” utilizado pelos “estiradores de corda”.  Também baseado nesse princípio, os egípcios utilizavam mosaicos, que frequentemente aparecem em paredes das construções do Egito antigo.
Embora por volta de 2000 a.C. os babilônios que habitavam a Mesopotâmia, onde hoje é o Iraque, já tinham conhecimento empírico desse método, a formalização desse conhecimento, entretanto, só ocorreu com os gregos no século VI a.C., quando chegaram à expressão a² = b² + c², válida para qualquer triângulo retângulo, e é conhecida como teorema de Pitágoras.
Hoje, podemos afirmar, com certeza que todos os matemáticos são “descendentes” diretos dos Estiradores de Corda. Então, não me chame de doido, pois sou um “estirador de corda” também.